第4章 一般性讨论：量子力学公设

4.1 基本公设

4.2 对基本公设 I–III 的讨论

习题 4.2.1 考虑 Hilbert 空间 $\mathbb{V}^{3}(C)$ 上的下列算符：

(1) 如果测量 $L_{z}$，可能得到哪些数值？

(2) 取 $L_{z}=1$ 的状态。在这一状态下，$\langle L_{x}\rangle$、$\langle L_{x}^{2}\rangle$ 和 $\Delta L_{x}$ 分别是多少？

(3) 在 $L_{z}$ 基底中求出 $L_{x}$ 的归一化本征态和本征值。

(4) 如果粒子处于 $L_{z}=-1$ 的状态，并测量 $L_{x}$，可能得到哪些结果？各自的概率是多少？

(5) 考虑状态

它是在 $L_{z}$ 基底中表示的。若在该状态下测量 $L_{z}^{2}$ 并得到结果 $+1$，那么测量后的状态是什么？得到这一结果的概率是多少？如果再测量 $L_{z}$，可能得到哪些结果？各自的概率是多少？

(6) 一个粒子处于某一状态，使得概率为 $P(L_{z}=1)=1/4$、$P(L_{z}=0)=1/2$、$P(L_{z}=-1)=1/4$。说明具有这一性质的最一般归一化状态为

前面曾指出，如果 $|\psi\rangle$ 是归一化状态，那么状态 $e^{i \theta}|\psi\rangle$ 与它在物理上等价。这是否意味着乘在 $L_z$ 本征态前面的因子 $e^{i \delta_i}$ 都无关紧要？[例如计算 $P\left(L_x=0\right)$。]

第3章 经典力学出了问题

3.1 经典物理中的粒子与波

第2章 经典力学回顾

2.1 最小作用量原理与Lagrange力学

习题 2.1.1 考虑下面这个称为谐振子的系统。物块的质量为 $m$，并置于无摩擦表面上。弹簧的劲度系数为 $k$。写出Lagrange量并求出运动方程。

第1章 数学导论

1.1 线性矢量空间：基础

习题 1.1.1 验证这些结论。对于第一个结论，考虑 $|0\rangle+|0^{\prime}\rangle$，并依次使用两个零矢量所具有的性质。对于第二个结论，从 $|0\rangle=(0+1)|V\rangle+|-V\rangle$ 出发。对于第三个结论，从 $|V\rangle+(-|V\rangle)=0|V\rangle=|0\rangle$ 开始。对于最后一个结论，设 $|W\rangle$ 也满足 $|V\rangle+|W\rangle=|0\rangle$。由于 $|0\rangle$ 是唯一的，这意味着 $|V\rangle+|W\rangle=|V\rangle+|-V\rangle$。接下来请自行完成。

零、光度学相关物理量的基本概念

在日常语言里，我们常说“这个灯很亮”，“桌面很亮”，“屏幕很亮”。但在物理和照明工程中，“亮”不能只用一个词来表示，因为它可能指不同的事情：

• 光源往某个方向发得强不强；
• 光源一共发出多少光；
• 某个表面被照得有多亮；
• 某个表面自己向外发出多少光；
• 人眼从某个方向看过去时感觉它有多亮。